UMA BASE ELEVADA A POTÊNCIA NEGATIVA

  Em capítulos anteriores já tratámos da concretização de trabalho de bases, potências e radicais.

E aí agrupámos sempre unidades. Nunca tratámos de agrupar partes da unidade (fracções, nºs racionais). Mas é evidente que poderemos começar a fraccionar unidades e as próprias fracções da unidade depois de se constituirem as ditas unidades. Se tudo for organizado em esquema a partir do que já atrás se fez, é natural que alunos do 1º ciclo também comecem a perceber esta matéria.

Tentemos organizar uma base 10              

              

10^2 = 100  Porque no 2º andar (ordem) mora lá o 100. O 10  subiu 2 níveis para ir para casa.

  10^1 = 10  Porque no 1º andar (ordem) mora lá o 10- O 10 subiu um nível para ir para casa.   

10^0 =  1 Porque no piso (ordem) zero mora lá o 1-Não subiu, no r/c só lá moram 1

10^-1 =  Porque na cave –1 mora lá . Aqui para ir para casa (cave)  entrou e ficou no 1º nível.

   10^-2 =  Porque na cave –2 mora lá . Aqui para ir para casa (cave) desceu 2 níveis.

   100^-3 =  Porque na cave –3 mora lá . Aqui para ir para casa (cave) desceu 3 níveis.

Convém notar que para se ir para casa nos andares sobe-se na estrutura. Para se  ir para casa nas caves, desce-se na estrutura. De resto é assim nos prédios verdadeiros. Por isso esta analogia.

= 10 Porque para sair dos andares manda descer 2 níveis  e encontra o 10 na saída.(raiz)

=   Porque para sair da cave manda subir 2 níveis e encontra a  na saída.(raiz)

=  Porque para sair da cave manda subir 3 níveis e encontra a  na saída.(raiz)

Convém notar que para se sair de casa nos andares se desce, mas para se sair de casa nas caves se faz o contrário, sobe-se. Daí a analogia do esquema com os prédios verdadeiros.

       100^ =10  Manda descer 2 níveis, fica no 10 (raiz). Manda depois subir 1 nível e fica no 10.

     100^ = 100 Manda descer 2 níveis, fica no 10 (raiz). Manda depois subir 2 níveis e fica no 100.

     ^=  Porque manda subir 2 níveis e encontra  (raiz) e depois descer 1 nível e fica aí.

     ^= Porque manda subir 2 níveis e encontra (raiz) e depois descer 2 níveis e fica .

^= Porque manda subir 3 níveis e encontra  (raiz) e depois descer 1 nível e fica aí.

       ^ = Porque manda subir 3 níveis e encontra  (raiz) e depois descer 2 níveis e fica

       ^= Porque manda subir 3 níveis e encontra  (raiz) e depois descer 3 níveis e fica

Deve fazer-se notar aos alunos que as ordens dadas quando trabalhamos nos andares devem ser invertidas quando passamos para as caves. Por isso é que o inverso de 10 é . O 10 mora no 1º andar e o  mora na 1ª cave. Estão ambos no primeiro nível da estrutura, só que o primeiro nos andares e o segundo nas caves.

Assim, enquanto o sinal  aplicado aos nºs dos andares deve ser interpretado como ir para baixo (à procura da raiz), já aplicado aos nºs das caves deve ser interpretado como ir para cima (à procura da raiz).

Numa potência de índice fraccionário, o denominador indica os níveis que devemos descer se se refere a um nº situado nos andares, mas já indica os níveis a subir se se refere a nºs que morem nas caves. O numerador indica os níveis que devemos subir se se refere a nºs que habitem nos andares, mas já indica descer se se refere a nºs que morem nas caves.

As pessoas que moram nos prédios também fazem assim, e os nossos alunos perceberão isso, e se não perceberem também é fácil ir fazer uma visita de estudo a um prédio desses e concretizar aí que quem mora nos andares, para sair pela raiz, terá de descer no elevador, mas quem mora nas caves terá de subir no elevador. Por sua vez, para se ir para casa, se se mora nos andares teremos de subir no elevador, mas se se mora nas caves, para se ir para casa teremos de descer no elevador.

Mas desde que os alunos trabalhem (brinquem) sempre com o esquema de base à sua frente e previamente feito, logo entenderão estas simbologias, e procurarão o resultados pedidos.

Porque, por enquanto, não se pretende que abstraiam. Mas através do esquema abstrairão certamente mais cedo.              

Vejamos agora uma base 2.

              1 9 + 15/16  na base 10  ou 1 9, 9 3 7 5 também na base 10

Se quisermos determinar:

  2^4= 16. A partir do 1º conjunto-base subimos 4 níveis e encontramos o 16.

 2^3= 8.  A partir do 1º conjunto - base subimos 3 níveis e encontramos o 8

 2^2= 4. A partir do 1º conjunto - base subimos 2 níveis e encontramos o 4

 2^1= 2. A partir do 1º conjunto - base subimos 1 nível e ficamos no 2.

 2^0= 1. Não se formou nenhum conjunto. Então só encontramos 1.

Para facilitar o jogo com os alunos poderemos dizer- por analogia - que a estrutura de base se assemelha a um prédio e para subirmos os vários níveis-andares com segurança e com cuidado fá-lo-emos pelo elevador. Mas quando é necessário subir rápido aos vários andares, é possível fazê-lo pelas escadas de emergência, nas traseiras do prédio, cujos degraus por cada andar é o factor correspondente ao número da base. No presente caso, se estamos a trabalhar uma base 2, então os degraus por cada andar é 2x. Assim diremos que os bombeiros subirão :                               

 

2^-4=1/16. Aqui manda ir para casa e para as caves. Ao descer 4 níveis a partir da raiz, encontramos  

2^-3 = . Aqui manda ir para casa e para as caves. Ao descer 3 níveis a partir da raiz, encontramos

 2^-2= . Aqui manda ir para casa e para as caves. Ao descer 2 níveis a partir da raiz, encontramos

2^-1= . Aqui manda ir para casa e para as caves. Ao contar 1 nível, ficamos logo aí , na raiz.

Se quisermos ir às caves mais rápido, iremos pelas tais escadas de emergência que aqui também existem nas caves e contaríamos como no exemplo já descrito, só que aplicado unicamente ao denominador.

= 2. O 16 mora num andar. Para sair do prédio desce 4 níveis. Sai pelo nível do 2.(raiz)

16 ^3/4= 8. O 16 mora nos andares. Para sair desce 4 andares até à raiz e sobe 3 e fica no 8.

   ^= . O  mora na cave. Para sair sobe 4 níveis até à raiz e desce 3 e fica no

A raiz é-nos sempre indicada pelo primeiro agrupamento que se faz de unidades e quando estamos a agrupar números inteiros para determinar potências positivas.

A raiz é-nos sempre indicada pelo primeiro racional que se faz das unidades e quando estamos

a fraccionar para determinar potências negativas.

Qualquer número inteiro diferente de zero para sair do sinal radical descerá e sairá sempre pelo patamar da raiz (1º agrupamento, nível 1 ou 1º andar). O que quer dizer que terá sempre de descer tantos patamares quantos os que subiu.

 É por isso que no nosso Liceu nos mandavam cortar o índice de raiz com o índice da potência.

 Se descia os mesmos patamares que subia era melhor ficar como estava (sem ser potência nem

raiz

 

Qualquer número racional para sair do sinal radical subirá e sairá sempre pelo patamar da raiz ( 1º fraccionamento da unidade, nível –1 ou 1ª cave). O que quer dizer que terá sempre de subir tantos patamares quantos os que desceu.

É por isso que no nosso Liceu nos mandavam cortar o índice de raiz com o índice de potência.

Se subia os mesmos patamares que descia era melhor ficar como estava (sem ser potência nem raiz).

                                                                        

Para os alunos pequenos é indispensável que para determinarem estes valores seja previamente  organizada uma base correspondente para que tudo seja devidamente concretizado. As abstracções virão a seu tempo e quando já forem capazes de dispensar o esquema.

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