Iniciação às equações de segundo grau

         Uma das dificuldades que costuma atormentar os alunos do nono ano de escolaridade no trabalho das equações do segundo grau, é não ser hábito representar prévia e geometricamente as situações simples e não visualizarem em concreto a medida do lado dum quadrado e os elementos que constituem os quadrados das somas e diferenças e a diferença de quadrados.

        Pois parece-me ser um trabalho que, se abordado de maneira simples e através de situações problemáticas, poderá motivar descobertas, logo no quarto ano de escolaridade, em que fundamentarão os conceitos a adquirir no nono ano de escolaridade. As noções mais simples já iriam adquiridas e seriam facilitadoras das mais complexas.

              O objectivo desta perspectiva de trabalho seria, não fugindo do programa de cada ano de escolaridade mas investindo nele o habitual, preparar o trabalho a realizar nos seguintes anos de escolaridade. Era como que cada fase dum trabalho servisse sempre de propedêutica para o trabalho futuro; era uma maneira dos ensinos duns ciclos não funcionarem de costas voltadas uns para os outros. É que muitas vezes o trabalho feito no primeiro ciclo, e essencialmente na matemática, de muito pouco servirá ao segundo ciclo; começa-se tudo praticamente de novo, constituindo grandes desperdícios.

         A este propósito é interessante relatar o resumo dum diálogo que tive com uma responsável dum Centro de Formação de Professores onde me candidatei como formador, propondo-me basear o curso no método Cuisen’eu e nesta perspectiva integradora. Pois a senhora responsável era professora e licenciada em matemática e comentou:

- O que eu acho é que os professores do primeiro ciclo devem dar o menos possível de matemática aos seus alunos porque eles no segundo ciclo aprenderão então a matemática; basta-lhes aprender a contar, aprender a tabuada, aprender a fazer as continhas e é quanto basta.

     E os agrupamentos horizontais de Escolas é no que dão; ninguém se conhece nem se sabe por e para onde vai cada ciclo!...

     Vejamos então como se poderia iniciar este trabalho no quarto ano de escolaridade. Por esta altura da escolaridade já os alunos dominam os conceitos de quadrado, rectângulo, áreas, dimensões, etc., e já resolvem muitas situações problemáticas enquadradas na mesma matéria. Por isso basta que proponhamos mais uns problemas sobre esta matéria acompanhados do respectivo material concretizador.

  Situações problemáticas enquadradoras

          1ª situação    

   O senhor José herdou do pai um terreno quadrado com 9 unidades de medida de lado. Mas o irmão, sentindo-se prejudicado, pediu ao tribunal que lhe acertasse a herança. O Tribunal decidiu que o José teria de dar ao João duas tiras do seu terreno com uma unidade de largura ao longo de todo o seu terreno. O campo que sobrasse teria de ter, necessária e obrigatoriamente, quatro lados. Quando os dois irmãos se juntaram para acertar o terreno, nova divergência surgiu. O João queria as duas tiras juntas dum só lado; o José queria dar as duas tiras em lados contíguos. Onde é que estava a diferença que justificasse a discussão?

       Para a verificação da diferença daríamos a dois alunos (faz de conta o João e o José) dois quadrados de cartolina com 27 cm de lado (representava o terreno) e pedir-lhes-íamos que medissem a área do quadrado com as réguas Cuisen’eu. Ao cobrirem a cartolina com réguas nove, verificariam que levava 81 quadradinhos (área do quadrado). A cada aluno seria dada uma tesoura para cortar as duas tiras, cada um à sua maneira. Como cada tira corresponderia a uma régua Cuisen’eu, bastaria assentar, à sua maneira, cada régua no quadrado, traçar o limite e cortar as tiras a dar ao João. É claro que cada um faria à sua maneira.

Como o João queria                    Como queria o José

                             

  Para o João  2x9=18  quadrados. Para o João 1x9 =9 quadrados                                                                                                                                                                          Para o José  9 x 7=63  quadrados.  Para o João 1x8 =8 quadrados 

                                                           Para o João17  quadrados no total  

                                                           Para o José 8x8=64  quadrados 

    Até aqui tudo pode ser do 4ºano. 

  9 x (9-2)= 9^2-9x2 =81-18= 63

 (9-1)^2=  (9-1)x(9-1)=   81-9-9+1= 64 

    Não será para o 4º ano 

                                                                                                                                                                          X x (X-2) =X^2- 2xX =0 

  (X-1)^2=(X-1)x(X-1)= X^2-X-X+1^2=0

 Para o 9º ano

   2ª  situação                              

       Admitamos agora que os litigantes eram o Mário e o Miguel e que o Juiz tinha sentenciado que o Mário teria de receber, ao longo do seu terreno, três tiras do Miguel, ficando o terreno somente com quatro lados. Mas o Miguel ateimava que lhe daria as três tiras juntas no mesmo lado do seu quadrado de terreno e o Mário queria-as em lados contíguos, duas num e uma noutro. O que justificaria a discussão se à primeira vista pareceria que era a mesma coisa?

        Dando quadrados de papel quadriculado aos alunos e tesouras, eles investigariam a razão da discordância. O professor simplesmente coordenaria. E concluir-se-ia que:

                                    

  O Mário ficava com 7x8=56 quadrados     

  O Miguel ficava com 6x9=54 quadrados   

  Os meninos do 1º ciclo perceberiam         perfeitamente a questão

   Para os mais crescidos já poderíamos propor:

(6+1) x (6+2) = 6x6 + 6x2 + 1x6 + 1x2 =36+12+6+2=56                                        

6x(6+3)= 6x6 + 6x3= 36+18=54

 Para o 9º ano apareceria assim:                                                                                                  (X+1)x(X+2)=X^2+2X+X+2=0  

X(X+3)=X^2+3X=0

                                                                                                          3ª situação

    Agora os litigantes seriam a Maria e o José. O juiz decidiu que o José teria de dar uma tira à Maria e a Maria teria de dar uma tira ao José. Mas o José queria dar e receber as tiras do mesmo lado do seu terreno; e como era dar e receber, o melhor era ficar como estava. A Maria argumentava que lhe daria a tira no lado contíguo ao lado onde tiraria para ela. Onde estaria a razão da divergência? Dando papel quadriculado e tesoura aos alunos, eles encontrariam a razão. 

Como queria o José    Como queria a Maria    

                                    

Para os alunos do 1º ciclo

  6x(6+1-1)=6x6=36 quadrados        

 (6-1)x(6+1)=5x7=35 quadrados 

  Para alunos mais crescidos

6x(6+1-1)=6x6+6x1-6x1=36+6-6=36        

(6-1)x(6+1)=6x6+6-6-1= 35       

Para os alunos do 9º ano

X(X+1-1)=X^2+X-X=X^2= 0       

(X-1)x(X+1)=X^2+X-X-1^2=X^2-1^2= 0   

          E assim parece ser possível articular matéria no sentido de aproveitar as devidas sequências.E não se vê que alguém tenha cometido o “crime” de sair fora do programa.

E estes casos simples já seriam dominados pelos alunos à entrada do 9º ano e que lhe facilitariam o salto para os casos mais complexos das equações do segundo grau. 

 O que parece evidente é que necessitaríamos dum sistema de ensino/aprendizagem articulado e sequencial entre os vários ciclos, o que está longe de suceder. E isto será um exemplo do que se passa em muitas matérias e até mesmo em várias disciplinas: falta de coordenação.                                                                   

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