DETERMINAÇÃO DE RAÍZES

 

         Determinar a raiz dum número é descer na sua estrutura base até ao 1º andar do prédio onde mora. No 1º andar mora sempre o nº que constitui a sua base ou a sua raiz.

Se se pedir raiz quarta, terá que descer 4 andares, o que quer dizer que o nº mora no 4º andar.

         Se se pedir raiz cúbica, então teremos que descer 3 andares, o que quer dizer que o nº mora no 3º andar.                                                                                                                          

         Se se pedir a raiz quadrada do nº, então teremos que descer 2 andares, o que quer dizer que o nº mora no 2º andar.

         Por este caminho é muito fácil que os alunos compreendam, sem necessidade de definições e explicações complicadas, que a radiciação é a operação inversa da potenciação, porque enquanto numa operação (potenciação) se sobe na estrutura de base, na outra operação (radiciação) desce-se na referida estrutura.

     Suponhamos que queremos determinar a raiz quarta de 16, a raiz cúbica de 8 e a raiz quadrada de 4.

        Então temos que tentar saber  primeiro em que bases estão organizados os nºs 16, 8 e 4 de modo que morem no 4º, no 3º e no 2º andar respectivamente, da estrutura base.

         Para isso, e por agora, basta aproveitar a estrutura de base 2 que foi sugerida no tema LXII para determinar as potências, usando as réguas Cuisen’eu.

         Aí verificar-se-á que o 16 mora no 4º andar. Então é possível determinar a sua raiz quarta, que se acha descendo no elevador do prédio 4 andares. Mora aí, no 1º andar, a raiz procurada que é o 2.

  E o 8 onde mora ? Mora no 3º andar. Então é possível determinar a sua raiz cúbica, que se acha descendo no elevador do prédio 3 andares. Mora aí, no 1º andar, a raiz procurada que é o 2.

E o 4 onde mora ? Mora no 2º andar. Então é possível determinar a sua raiz quadrada, que se acha descendo no elevador do prédio 2 andares. Mora aí, no 1º andar, a raiz procurada que é o 2.

         E assim por diante. A estrutura que nos dá as potências é a mesma que nos indica as raízes, como é evidente.                         

        Às vezes é - nos pedida a raiz dum nº e nós não sabemos a base em que está organizado nem em que andar “mora”. E enquanto o não soubermos não somos capazes de construir o prédio.

         Para os alunos crescidos dizemos que temos que decompor o nº em factores primos. Para os pequenos podemos arranjar um jogo mais compreensível e interessante.

         Então diremos que todos os nºs se podem compor com réguas Cuisen’eu iguais para cada grupo. Para o 4, diremos que mora, ora num 2º andar de base 2, ora num 1º andar de base 4. É como aquelas pessoas que têm duas casas, uma na cidade e outra no campo, estando ora numa, ora noutra.

         Veremos então como descobrimos as casas do Sr. 4.

         Proporemos que os alunos descubram com quais e quantas réguas Cuisen’eu se faz o 4, não interessando que seja só uma régua nem que seja a régua um. Então, nem que seja por tentativas, alguns concluirão que é com 2 vezes a régua 2, formando o seguinte esquema:

                 

        E não se pode decompor mais sem que entrasse o nº 1, o que não interessa. Podemos é, agora, a partir das réguas mais pequenas possíveis (a régua 2 neste caso) fazer as recomposições possíveis, unidos por traços coloridos, ficando como se segue:

         Recomposição Uma casa no 2º andar e uma casa no 1º andar

E aqui temos marcadas, com argolas, as 2 casas onde mora o Sr. 4.      

         E onde mora o 8?

         Vamos  decompô-lo nas réguas possíveis.

      

 Uma casa no 3º andar. Uma casa no 1º andar.

O Sr. 8, ora mora num 3º andar de base 2, ora mora num 1º andar de base 8.

           E o  16 ?

           Vamos decompô-lo com as réguas Cuisen’eu.

            Por tentativas, os  alunos concluirão que se  decompõe ou  com 2 vezes a régua 8, ou com 4 vezes a régua 4, tanto faz, e que o 8  se decompõe com 2 vezes a régua 4 e o 4 com 2 vezes a régua 2, ficando o esquema como se segue:   

Uma casa no 4º andar, outra no 2º e outra no 1º.

  Então o 16 mora em 3 casas.  Ora num 4º andar de base 2, ora num 2º  andar de base 4, ora  num 1º andar de base 16. Para não fazer confusão com tantos risquinhos de bico para baixo (a que chamamos aranhiços) que se ligam ao 4 e ao 16, convém fazê-los de cores, sendo duma cor os que se ligam ao 4 e doutra cor os que se ligam ao 16.      

                 E onde morará o 64 ?   

              Aqui podemos utilizar 8  vezes a régua 8, ou  2 vezes a régua 32, ou 32 vezes a régua 2, ou 16 vezes a régua 4, etc.

                   Optemos por uma das hipóteses.

  Então o 16 mora em 3 casas.  Ora num 4º andar de base 2, ora num 2º  andar de base 4, ora  num 1º andar de base 16. Para não fazer confusão com tantos risquinhos de bico para baixo (a que chamamos aranhiços) que se ligam ao 4 e ao 16, convém fazê-los de cores, sendo duma cor os que se ligam ao 4 e doutra cor os que se ligam ao 16.      

                 E onde morará o 64 ?   

              Aqui podemos utilizar 8  vezes a régua 8, ou  2 vezes a régua 32, ou 32 vezes a régua 2, ou 16 vezes a régua 4, etc.

                   Optemos por uma das hipóteses.

Uma casa num 6º andar, outra num 3º, outra num 2º e outra num 1º andar.

           Fazer aranhiços a cores diferentes, donde se conclui que o 64 mora, ora no 6º andar de base 2, ora num 3º andar de base 4, ora num 2ºandar de base 8, ora num 1º andar de base 64. É como aquelas pessoas muito ricas que têm uma casa em Lisboa, outra na província, outra no campo e outra na praia, e quando  a gente  quer falar com essa pessoa temos que ir ver em que casa está.                             

           Se nos pedirem  já sabemos que o  64 está, neste momento,  no 6º andar de base 2 e é só descer  6 andares, no elevador, até chegar ao 1º andar, onde mora o 2 que é a sede da raiz pedida.   

            Se nos pedirem a     , já sabemos que o 64, neste momento, está no 3º andar de base 4 e é só descer 3 andares, no elevador, até chegar ao 1º andar, onde mora o 4  que é a sede da raiz pedida.                                                

            Se nos pedirem a  , já sabemos que o 64  está neste momento no 2º andar de base 8 e é só descer 2 andares, no elevador, até ao 1º andar, onde mora o 8 e que é a sede da raiz pedida.

            E assim para quaisquer raízes exactas de quaisquer números.

            A brincar com os números, as crianças constróem as estruturas e determinam os valores pedidos.

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